Clásicos De La Matemática Fundamentos De La Geometría David Hilbert

FUNDAMENTOS
de la
GEOMETRIA.

Por el Dr. DAVID HILBERT.

CAPITULO PRIMERO.
LOS CINCO GRUPOS DE AXIOMAS.

91
Los elementos de la geometría y los cinco
grupos de axiomas.

Aclaración. Pensemos tres diferentes clases de objetos.
Llamemos a los objetos del primer sistema puntos, y desig-
némoslos con A, B,C...; llamemos a los objetos del segundo
sistema rectas, y designémoslas con a.b.c. .; a los objetos
del tercer sistema llamemos planos,, y designémoslos con
a, PB, y, -.Los puntos se llaman también elementos de la .
geometría lineal; puntos y rectas se llaman elementos de la
geometría plana; y puntos. rectas y planos se llaman ele-
mentos de la geometría espacial o del espacio.

Supongamos que puntos, rectas y planos estén en cier—
tas relaciones mutuas que designaremos con las palabras:
“estar en”. “entre”, “paralelo”/congruente”, “continuo”. cuya
exacta y completa descripción se conseguirá por medio de

3

DAVID HILBERT

los Axiomas de la geometría.

Los axiomas de la geometría se distribuyen en cinco
grupos, cada uno de los cuales expresa ciertos hechos,
conexos entre sí y fundamentales, de nuestra intuición.

Tales grupos de axiomas se llamarán de la siguiente
manera:

L 17 Axiomas de enlace,

II. 1-5 Axiomas de orden,

II Axioma de paralelismo. [ Axioma de Euclides),

IV. 1-6 Axiomas de congruencia.

V. Axioma de continuidad [Axioma de Arquímedes).

»

$2

Primer grupo de axiomas: axiomas de
enlace.

Los axiomas de este grupo establecen entre los con-
ceptos de puntos. rectas y planos un “enlace”, y se formu-
lan de la siguiente manera:

. 1,1 Dos puntos diversos A.B determinan siempre una
recta, a; y pondremos AB-2 0 bien BA-a.

En vez de “determinan” podremos servirnos de otras
expresiones. por ejemplo: A “está en” 2 A “es un punto de”
a, 2 “pasa por” A “y por” B,2 “une” A “y” o “con” B;o
parecidas expresiones. Cuando A está en 2 y además en
otra recta diferente b, emplearemos también la expresión:
“las rectas 2 y b tienen el punto común, A”, o parecidas.

1.2 Dos puntos diversos cualesquiera de una recta
determinan esa misma recta; esto es: si AB-2 y AC-1, y
B*FC, será también BC-42.

4

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

L3 Tres puntos A,B,C que no estén en una y la
misma recta determinan siempre un plano «. y pondremos
ABC-a.

Emplearemos también las expresiones : AB,C “están
en” a, ; A,B.C “son puntos de” A, y otras parecidas.

I. 4 Tres puntos cualesquiera A.B.C de un plano A, que
no estén en una y la misma recta determinan ese mismo
plano a.

I.5 Si dos puntos A.B de una recta a están en un plano
a, cada uno de los puntos de a está en a.

En este caso decimos: la recta a está en el plano a; y
expresiones parecidas.

L 6 Si dos planos QG,B tienen un punto común A. tienen
al menos algún otro punto común, B.

1.7 En cada recta hay al menos dos puntos; en cada
plano hay al menos tres puntos no colocados en una recta;
y en el espacio hay al menos cuatro puntos no colocados en
un plano.

Los axiomas 1.1-2 incluyen solamente enunciados sobre
puntos y rectas, esto es: sobre elementos de la geometría
plana y pueden. de consiguiente. llamarse los axiomas
planos del grupo 1, para distinguirlos de los axiomas 1
3-7, que designaré brevemente como los axiomas espaciales,

De entre los teoremas, que de los axiomas Í. 1-7 se si-
guen, menciono solamente estos dos:

Teorema 1. Dos rectas de un plano tienen o un punto
común o ninguno; dos planos tienen o ningún punto co—
mún o una recta; un plano y una recta no colocada en el
tienen o ningún punto o uno común.

Teorema 2. Por una recta y por un punto no colocado

S

DAVID HILBERT

en ella, lo mismo que por dos rectas distintas con un
punto común, pasa siempre un plano y uno solo.

$3.

Segundo grupo de axiomas:
axiomas de orden.

Los axiomas de este grupo definen el concepto de
“entre” y hacen posible. por medio de este concepto, el
“ordenamiento” de los puntos en una recta, en un plano y
en el espacio.
Aclaración. Los puntos de una recta están en ciertas
relaciones entre sí, para cuya descripción nos servirá espe=
cialmente la palabra “entre”.

A B Al

——— A

II. 1. Sí A,B,C son puntos de una recta, y B está entre
A y C, estará también B entre C y A.

II 2 Si A y C son dos puntos de una recta, hay siempre
un punto B cuando menos que está entre A y C. y hay
al menos un punto D tal que C esté entre A y D.

II. 5.Entre tres puntos de una recta hay siempre_uno y

solamente uno que está entre los otros dos.
II 4. Cuatro puntos cualesquiera A,B,C.D de una recta

pueden ser siempre ordenados de manera que B esté entre
A yC y también entre A y D, y además C esté entre A y D
y también entre B y D.

Á BC D

_oG_—_—AÁX y A A 2O0A0A2A

Definición. Al sistema de los puntos A y B, que estén

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

en una recta a llamamos segmento y lo designaremos con
AB ocon BA .Los puntos entre A y B se llaman puntos
del segmento AB o también puntos colocados “dentro” del
segmento AB; de todos los demás puntos de la recta a se
dirá que están colocados “fuera” del segmento AB. Los
puntos AB se llaman “puntos extremos del segmento AB”
IL. 5 Sean A,B.C tres puntos no colocados en linea recta,

y sea 2 una recta en el plano ABC, no tocando tal recta
ninguno de los puntos A.B,C; si la recta a pasa por un
punto interior al segmento AB, pasará siempre o por un

punto del segmento BC o por un punto del segmento AC.

e Los axiomas Il. 1-4 incluyen sola—

% mente enunciados sobre los puntos en

GS A una recta y pueden, por tanto, llamarse

% los axiomas lineales del grupo !l; el

axioma II. 5 incluye un enunciado sobre los elementos de
la geometría plana y se llamará por tanto el axioma plano
del grupo Il.

S4

Consecuencia de los axiomas de enlace y
de orden. :

De los axiomas lineales II. 1-4 se deducen inmediata—
mente y sin trabajo los teoremas siguientes:

Teorema 3. Entre dos puntos cualesquiera de una recta
hay siempre infinitos puntos,

Teorema 4. Si se da un cierto número finito de puntos
de una recta, se los puede ordenar siempre en una serie
A,B.C.D,E. .,K,de manera que B esté por una parte entre

7

DAVID HILBERT

A y por otra entre C.D.E. ..K; y esté C entre A,B por una
parte y D.E...K por otra; y D esté entre A,B.C por una
parte y por otra E... K etc. Y fuera de este orden sólo se da
el inverso K, .E.D.C,B,A que posee las mismas propiedades.

A B CD E K

Teorema 5. Toda recta a, que se halle en un plano,
divide los demás puntos del plano en dos regiones con la
siguiente propiedad: cada punto A de una de las regiones

4%. . determina con cualquier otro punto B
ral de la otra un segmento AB en el cual
yn a hay un punto de la recta a; por el

o contrario: dos puntos cualesquiera A,
B_— A' de una y la misma región determi-
nan un segmento AA' que no encierra ningún punto de a.

Aclaración.Sean A.A.O,B cuatro puntos de una recta a
de modo que O esté entre A y B, mas no entre A,A!. Deci—
“ mos: los puntos A.A están en la recta a en uno y el mismo
lado que el punto O, y los puntos A,B están en la recta a
en distinto lado respecto del punto O.

A: A? 0 B

El conjunto de los puntos colocados en uno y el mis—
mo lado respecto del punto O de la recta a se llama
semirrayo que parte de O; así que cada punto de una recta
la divide en dos semirrayos.

Y sirviéndonos de las expresiones del teorema 5 dire—
mos: los puntos A.A' se hallan en el plano en uno y el
mismo lado de la recta a. y los puntos A.B se hallan en el

plano en diversos lados respecto de la recta a.

.8

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

Definición. Un sistema de segmentos AB.BC. CD..KL
se llama trazado que une unos con otros los puntos A...
L; tal trazado se designa brevemente con ABCD..KL.Los
puntos interiores a los segmentos AB.BC.CD...KL. al
igual que los puntos A.B.C.D..K.L se llaman. en conjunto,
los puntos del trazado.Si. en especial.el punto L coincide
con el punto A el trazado recibirá el nombre de polígo—
no, y se lo designará por el polígono ABCD..K Los
segmentos AB,BC.CD...KA se llaman lados del polígono.
Los puntos A,B,C,D. .K se llaman vértices del polígono.
Polígonos con 3.4...n vértices se llamarán respectiva—
mente trivértices, cuadrivértices.... enevértices.

Cuando los vértices de un polígono son todos distin=
tos entre sí y ningún vértice del polígono coincide con
un lado y finalmente si dos lados cualesquiera de un
polígono no tienen ningún punto:común. tal polígono se
llama simple.

Por medio del teorema 5 se puede llegar sin más difi-
cultad a los teoremas siguientes:

Teorema $. Todo polígono simple. cuyos vértices se
hallen todos en el plano. divide los puntos de este plano,
que no pertenezcan ya al trazado del polígono. en dos
regiones. una interior y otra exterior. con la siguiente
propiedad: si A es un punto del interior ( punto interior),
y Bun punto del exterior (punto exterior) todo trazado
que una los puntos A.B tiene al menos un punto común
con el polígono. Por el contrario: si A,A' son dos puntos
del interior y B,B' dos puntos del exterior. habrá siempre
trazados que unan Á con A! y B con B' y que no tengan
con el polígono ningún lado común.

DAVID HILBERT

Se dan rectas en A que pasan enteramente por fuera
» del polígono. Por el contrario, no hay ni
una -de tales rectas que corra entera—
mente en el interior del polígono.
B a Teorema 7. Todo plano divide los
restantes puntos del espacio en dos re—
giones de la siguiente propiedad: cada punto A de una
región determina con cada punto B de la otra un segmen—
to AB, dentro del cual se halla un punto de a; por el
contrario. dos puntos cualesquiera A,A' de una y la misma
región determinan siempre un segmento AA' que no in—

Ta

cluye ningún punto de a.

Aclaración. Sirviéndonos de las expresiones de este
teorema 7 podremos decir: los puntos A,A' se encuentran
en el espacio en uno y el mismo lado del plano a, y los
puntos AB están en el espacio en diversos lados del
plano A.

El teorema 7 expresa los hechos fundamentales res
pecto del orden de los elementos en el espacio. Mas tales
hechos son simples consecuencias de los axiomas anterio—
res y no hace falta en el grupo 1] ningún axioma espacial

nuevo.

$5

Tercer grupo de axiomas: axioma de
paralelismo.
(Axioma euclídeo)

La introducción de este axioma simplifica los funda—
mentos y facilita grandemente la construcción de la

10

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

geometría. Le damos la siguiente formulación:
I'll En un plano a por un punto A fuera de una recta a
se puede trazar siempre una y una sola recta que no corte a

la recta a; tal recta se llama la paralela con a por el punto A.

Esta formulación del axioma de las paralelas incluye
dos enunciados: por el primero, en el plano a y por A hay
siempre una recta que no corta a a; en el segundo se afirma
gue no es posible ninguna otra recta de esta clase.

El segundo enunciado es el esencial. y se lo puede for-
mular así;

Teorema 8. Si dos rectas ab en un plano no cortan a
una tercera recta < del mismo plano. tampoco se cortarán
entre sí,

En efecto: si a.b tuvieran un punto Á común, serían
posibles por el punto A y en el mismo plano las dos rectas
2.b que no cortarían a la c; lo cual contradice al segundo
enunciado del axioma de paralelismo en nuestra primera
- formulación. E inversamente: del teorema 8 se sigue el
segundo enunciado del axioma de paralelismo en nuestra
primera formulación.

El axioma de las paralelas III es un axioma plano.

$6.

Cuarto grupo de axiomas: axiomas de
congruencia

Los axiomas de este grupo definen el concepto de
congruencia o de movimiento.

Aclaración. Los segmentos están en ciertas relaciones
mutuas para cuya descripción: nos servirá la palabra

11

DAVID HILBERT

“congruente”.
IV. 1. Si A,B son dos puntos en una recta a y si además
A es un punto en la misma recta a o enotra a', se podrd
siempre encontrar en un lado dado de la recta 2' respecto
del punto A un punto B' y uno solo tal que el segmento AB
(o BA) sea congruente con el segmento A'B; simbólicamente:
AB-AB'.
Cada segmento es congruente consigo mismo, esto es:
vale siempre :
AB=AB.
Diremos también que todo segmento puede ser_trans-
portado de manera determinada y unívoca sobre un lado

de una recta dada a partir de un punto dado.
IV. 2. Si un segmento AB es congruente con el segmento

A'B' y con el segmento A"B". serán congruentes también los
segmentos A'B' y A"B", esto es: sí AB=AB' y AB-A'B" vale
también AB'-A'B".

IV. 3. Sean AB.BC dos segmentos sin puntos comunes
sobre la recta a. y además A'B', B'C' dos segmentos sobre
la misma recta o sobre otra distinta a" igualmente sin
puntos comunes; si AB-=AB' y BC=-B'C' serán también
siempre AC=A'C".

A BC Q
A' BC A

— E ><==>>>>

Definición. Sea a un plano cualquiera, y h, k dos semi-
rrayos diferentes que parten de un punto O en A y que
pertenecen a rectas distintas, El sistema de estos dos semi=
rrayos b,k se llama ángulo y lo designaremos con 4 (h.k) o
con < (kh).

12

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

De los axiomas II. 1-5 es fácil deducir que los semirra—
yos hk juntamente con el punto O, dividen los demás
puntos del plano a en dos regiones con la propiedad
siguiente: si” Á es un punto de una de ellas y B otro punto
de la otra región. todo trazado de segmentos que una A y
B pasa por O, o, si no, tiene con h o con k un punto común.
Si, por el contrario, A,A son puntos de la misma región, se
da siempre un trazado que une A y A y que no pasa por O
ni por otro punto de los semirrayos h,k. Se distingue una
de otra de estas dos regiones en que en una de ellas todo
segmento que una dos puntos cualesquiera de ella está
siempre dentro de la misma; y a esta región especial se dará
el nombre de interior de ángulo (b.k). para distinguirla de
la otra región que podrá denominarse exterior del ángulo
(h.k). Los semirrayos h.k,se llaman lados del ángulo y el
punto O se llama vértice del ángulo.

IV. 4. Sise dan un-ángulo <(h,k) en un plano a, la
recta a' en un plano U*. se fija un lado de 2! sobre el «, y si
a la vez h' designa un semirrayo de la recta a' que parte del
punto O'. se dará en este caso en el plano a' un semirrayo y
sólo uno k'. tal que el ángulo (h.k) o el (k.h) sea congruente
con el ángulo (H'K) y a la vez que todos los puntos interio—
res del ángulo (H.k') se encontrarán en el lado dado de 1”.
simbólicamente:

a (h.k) = « (huk!)

Todo ángulo es congruente consigo mismo, esto es: vale

siempre
4 (hk)- a (h,k)

Diremos también abreviadamente que todo íngulo en

un plano dado puede ser transportado de manera unívoca a

13

DAVID HILBERT

un lado de un semirrayo dado.

IV. 5. Si un ángulo (h.k) es congruente tanto con el án—
gulo (h'.k') como con el ángulo (h",k"). también serán con—
gruentes entre sí los ángulos (b'k) y (h",k"), esto es: si
<4(h.k)=< (Hn1k) y si <(hk)-a(h"k") serán también
< (hik') <a (ak),

Aclaración. Sea ABC un triángulo; designemos respec—
tivamente con h,k los dos semirrayos que parten de A y
pasan por B y por C. Se dirá que el íngulo (h.k) es el com—
prendido por los lados AB,AC o que es el opuesto al lado
BC del triángulo ABC; tal ángulo encierra en su interior
todos los puntos interiores del triángulo ABC, y se le
designará con 4BAC o con y A.

IV. 6. Si para dos tridrigulos ABC y AB'C' valen las
congruencias AB=AB', AC=A'C', ABAC=AB'AC' se
cumplirán también las congruencias JABC-<AB'C' y
¿ACB=39AC'B'

Los axiomas IV. 1-3 incluyen solamente enunciados
acerca de la congruencia de segmentos sobre rectas: pue—
den por tanto llamarse axiomas lineales del grupo IV. Los
axiomas IV 4-5 incluyen enunciados sobre la congruencia
de ángulos. El axioma IV.ó sirve de unión entre los con—
ceptos de congruencia para ángulos y segmentos. Los
axiomas 1V.4-ó incluyen enunciados sobre los elementos
de la geometría plana y pueden, por tanto, llamarse axio—
mas planos del grupo IV.

$7

(Consecuencias de los axiomas de
congruencia Teoremas 9-20)

14

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

$8

Quinto grupo de axiomas: Axioma de
continuidad
(Axioma de Arquímedes)

Este axioma hace posible introducir en la geometría el
concepto de continuidad. Para su formulación hay que
fijar el sentido de “igualdad” de dos segmentos sobre una
recta. Para este fin podemos fundarnos o sobre los axio—
mas de congruencia de segmentos y llamar segmentos
“iguales” a los que sean congruentes, o bien, a base de los
grupos 1,II de axiomas determinar, mediante adecuadas
convenciones, cómo hay que transportar un segmento
desde un punto de una recta dada, de modo que resulte un
nuevo y determinado segmento “igual” al primero. Ya
tenor de esta fijación el axioma de Arquímedes se formula
así.

V. Sea A, un punto cualquiera sobre una recta entre
dos puntos cualesquiera A.B: constrúyanse los puntos A. A,
A... tales que A, esté entre A y A. A, entre A, y A, A,
entre A, y A, etc. y a la vez sean los segmentos
AA,AA, AA, AJA...

LL AMA A. Av: BA
iguales entre sí, en este caso se dará siempre en la serie
de puntos A. A, A.., un punto A, tal que B se hallará

entre A y A,.
El axioma de Arquímedes es un axioma lineal.

15

CAPITULO SEGUNDO

NO CONTRADICCION E INDEPENDENCIA
MUTUA DE LOS AXIOMAS.

so.
No contradicción de los axiomas.

Los axiomas de los cinco grupos establecidos en el
capítulo 1 nose contradicen mutuamente, es decir: no es
posible, mediante procedimientos lógicos, deducir algo que
esté en contradicción con los axiomas establecidos. Para
verlo bastará con presentar una geometría en la que se
cumplan de vez todos los axiomas de los cinco grupos.

Considérese el dominio (2 de todos aquellos números
algebraicos que resultan partiendo del número 1 y aplican
do un número finito de veces las cuatro operaciones del
cálculo: adición. sustracción, multiplicación, división y
además la quinta vi + 6% donde ( designa en cada caso un
número obtenido ya por las cinco operaciones. Pensemos
un par de números (x.y) del dominio (2 como si fuera un
punto, y las relaciones de dos puntos cualesquiera (u: v: w)

poa

16

ips

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

del dominio (2 como una recta, caso de que u.v no sean de
vez cero; además el que valga la ecuación

UX=+vy -0
expresará que el punto (x.y) se encuentra en la recta
(u:v:w).

Como es fácil de ver se cumplen con esto los axiomas
1. 1-2 y MI. Los números del dominio (2 son todos ellos
reales; y si consideramos que todos ellos pueden ordenarse
según su magnitud, podremos fácilmente fijar por conven=
ción un orden tal para nuestros puntos y rectas que se
cumplan también todos los axiomas del grupo IL.

En efecto: sean (x.y), X.Y.) (x.y)... puntos cuales-
quiera de una recta; y sea éste su orden de sucesión en la
recta, si los números XX, X,... 0 los y, y. y,.... tomados
en este orden crecen o disminuyen constantemente. Ade-
más para cumplir la exigencia del axioma 11.5 hemos de
asegurar el que todos los puntos (x.y), para los que
UX+Vy+w es mayor o menor que O, han de caer correlati-
vamente en uno de los lados de la recta. Con esto es fácil
convencerse que esta fijación concuerda con aquella otra
en virtud de la cual se determinó el orden de sucesión de
los puntos en una recta.

El transporte de segmentos y de ángulos se verifica se-
gún los métodos conocidos de la geometría analítica.

Mediante una transformación de la forma

x X+a

y' =y+b
se consigue el desplazamiento paralelo de segmentos y
ángulos.

Si además se designa el punto (0,0) con O, el punto (1,0)

17

DAVID HILBERT

con E y un punto cualquiera (a,b) con C, por giro sobre el
ángulo < (COE), siendo O el punto fijo, el punto arbitrario
(x.y) dará el punto (x',y') poniendo

(=,y) ےa,b)
e E q. b_ y (x.y)
a
' b y a
Y pl y (0,0) y E
Va*+b* var+b* ig El0)

Y puesto que el número Form 3 ve (ey

pertenece al dominio (, valdrán con las fijaciones predi—
chas los axiomas de congruencia, grupo IV; y además es
claro que se cumplirá el axioma de Arquímedes.

De todo lo cual deducimos que cualquier contradicción
en las conclusiones de nuestros axiomas tendría que resul-
tar recognoscible también en la aritmética del dominio (2.

No ofrece ninguna dificultad ampliar para la geometría
del espacio las consideraciones dichas.

Si para las consideraciones anteriores elegimos. en vez
del dominio £2, el de todos los números reales, obten-
dremos igualmente una geometría en la que valdrán de
vez todos los axiomas 1- V. Para nuestra prueba basta con
el empleo del dominio (2 que sólo incluye un conjunto
enumerable de elementos.

$10

La independencia del axioma de
paralelismo.
(Geometría no euclídea)

18

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

Después de probar la no contradiccion de los axiomas
resulta interesante investigar si son independientes entre
sí. Y de hecho es así: que ninguno de los axiomas puede
ser deducido de otro por procedimientos lógicos.

Por de pronto: en lo que respecta a cada uno de los
axiomas de los grupos I.I1,TV es fácil demostrar que los
axiomas de un mismo grupo son independientes entre sí.

Los axiomas de los grupos I.II sirven en nuestra ex-
posición de fundamento para los demás axiomas. de modo
que. según esto. se trataría exclusivamente de demostrar
que cada uno de los grupos III, IV,V es independiente de
los demás.

La primera afirmación incluída en el axioma de para—
lelismo puede ser demostrada por medio de los axiomas
de los grupos 1, 11,1V.

Para verlo unamos el punto dado A con un punto
cualquiera B de la recta a. Sea además C otro punto cual=
quiera de la recta a. Apliquemos < ABC a AB en el punto
A y en aquel lado del mismo plano «a en el que nose
encuentre el punto C. La recta así obtenida. y que pasa
por el punto A, no corta a la recta a.

En efecto: corte la recta 2 en el punto D y suponga—
mos que B se halle entre C y D, podríamos en tal caso
encontrar sobre a un punto D' tal que se hallara entre
D y D' y además valdría

AD = BD',

Y en fuerza de la congruencia de los triángulos ABD

y BAD' se seguiría la congruencia
4 ABD = 4 BAD;
y puesto que los ángulos ABD' y ABD son adyacentes.

19

DAVID HILBERT

tendrían que ser también. por el teorema 12. adyacentes
los ángulos BAD y BAD', lo cual no es así en virtud del
teorema l.

La segunda afirmación incluída en el axioma de para=
lelismo JII es independiente de los demás axiomas.

La manera más fácil de demostrarlo es la siguiente:
tómense aquellos puntos. rectas y planos de la geometría
ordinaria. construídos en el $ 9. que caigan dentro de una
esfera sólida y considéreselos cual si fueran elementos de
una geometría espacial. y para las congruencias de esta
geometría empléense aquellas transformaciones lineales
de la geometría ordinaria que transforman la esfera sólida
en si misma. Mediante convenciones apropiadas se muestra
que en esta geometría no eucl idea valen todos los axio-
mas fuera del euclídeo. axioma III. y puesto que quedó
demostrada en el 59 la posibilidad de la geometría ordi-
naria. podremos ahora concluir a la posibilidad de la
geometría no euclídea.

S 11

La independencia de los axiomas de
. congruencia.

Conoceremos que los axiomas de congruencia son
independientes entre si, si probamos que el axioma IV.ó
o. lo que resulta igual. el primer teorema de congruencia
para triángulos. esto es el teorema 10. no puede ser dedu-
cido lógicamente por medio de los restantes axiomas 1, II.
III. IV. 1-5.V.

Tomemos los puntos. rectas y planos de la geometría

20

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

ordinaria como elementos también de la nueva geometría
espacial y definamos el transporte de ángulos como en la
geometría ordinaria, por ejemplo según la manera que se
expuso en el $ 9. Por el contrario, definamos el transporte
de segmentos de otra manera.

Tengan respectivamente los dos puntos A, A, en la
geometría ordinaria las coordenadas Kio Tio Zi Vas Za
Designemos entonces el valor positivo de

y

como la longitud del segmento A, A,. Según esto dos
segmentos cualesquiera A,A,, A!A! se llamarán congruentes
entre sí si tienen la misma longitud en el sentido prefijado.
Es evidente sin más que, en la geometría espacial así
construída, valen los axiomas 1, II, IL, IV. 1-2, 4-5, y V.
Para demostrar que también se cumple el axioma IV.
3 tomemos una recta cualquiera a y en ella tres puntos A,
A,, A, tales que A, esté entre A, y A,. Los puntos X,y,z en
la recta a estén dados por las ecuaciones
x-At4 A
ya pt+ pl
Z-VI+V
donde A,X, u, p, v,v' son constantes cualesquiera y £ un
parámetro. Sean t, t, (< t,), t, (< t,) los valores del paráme—-
tro correspondientes a los puntos A, A,, A; encontraremos
para las longitudes de los tres segmentos AJA, A.A, y A,A,
las expresiones

Vít,-1) (A+p)+ppv:
Ví,-c) A+pr+pepv:

(x, ei y, =y + (z, 7Z

21

DAVID HILBERT -

(a) Yatv,

y, por tanto, la suma de las longitudes de los segmentos
AJA. y AA, es igual a la longitud del segmento AA,
circunstancia que asegura la validez del axioma IV. 3.
Empero el axioma IV. 6, y mejor el primer teorema de
congruencia para triángulos, no se cumple siempre en
nuestra geometría.
Consideremos, por ejemplo, en el plano z - O los cuatro
puntos: O con las coordenadas x-0, y-0
A con las coordenadas x-1, y-0
B con las coordenadas x-0, y-1

C con las coordenadas x-Ly-L ;

en los triángulos rectángulos OAC y OBC son respectiva

B (0.1) mente congruentes los ángulos en
E C y los lados adyacentes, porque
Er el lado OC es común a ambos
e

VE triángulos y los segmentos AC y
F BC poseen la misma longitud, F-

cd AO) ¡

0(0.0)

Por el contrario, los lados terceros
OA,OB tienen respectivamente las longitudes 1y 2. Y
por tanto no son congruentes.

No resulta tampoco difícil hallar en esta geometría dos
triángulos en los que no se cumpla el axioma IV. 6.

312,

La independencia del axioma de
continuidad
(Geometría no arquimédica)

22

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

Para demostrar la independencia del axioma de
Arquímedes, V, hemos de construir una geometría en la
que se cumplan todos los axiomas con excepción del de
Arquímedes.

Para este fin construyamos el dominio (M(t) de todas
aquellas funciones algebraicas de £ que salen de t por me-
dio de las cuatro operaciones: adición, sustracción multi-
plicación, división y por la quinta viTG, donde significa
una función cualquiera construída ya por medio de las
cinco operaciones dichas El conjunto de los elementos de
Q(1), lo mismo que el de £?, sea enumerable. Las cinco
operaciones han de ser realizables unívocamente y en el
dominio real y en tal caso Q(t) contendrá solamente fun-
ciones unívocas y reales de t .

Sea € una función cualquiera del dominio (1); puesto
que la función e es una función algebraica de t.sólo podrá
anularse para un número finito de valores de t. y por tan
to para valores positivos de 1 suficientemente grandes la
función c resultará o siempre positiva o siempre negativa.
Consideremos ahora las funciones del dominio (2(1) como
una especie de números complejos. Evidentemente valen
de vez en tal sistema de números complejos, así definidos.
las reglas ordinarias de cálculo. Además: si a,b son dos
números distintos de este sistema de números complejos,
se dirá que el número a es mayor o menor que el b sim-
bólicamente 2>b obien a < b, según que la diferencia
£=2—b como función de t resulte, para valores de 1
suficientemente grandes, siempre positiva o siempre nega-
tiva. Con esta convención resulta posible ordenar según
magnitud los números de nuestro sistema numérico

, : 23

DAVID HILBERT

complejo, ordenación que es del mismo tipo que la de los
números reales. Valen también para nuestros números
complejos, como se reconoce fácilmente, los teoremas se-
gún los cuales las desigualdades continúan validas si se
añade a ambas partes el mismo número o se las multiplica
con un mismo número mayor que cero.

Signifique n un número racional positivo cualquiera;
valdrá ciertamente para los dos números n y t del domi-
nio (2 (1) la desigualdad n<t porque la diferencia n —1
considerada como función de r. para valores suficiente-
mente grandes de £ resulta evidentemente negativa. A este
hecho le damos la formulación siguiente; los dos números
1 y £ del dominio ((1) son mayores que cero y poseen la
propiedad de que un múltiplo cualquiera del primero es
siempre menor que el otro.

Con los números complejos del dominio Q(t) constru—
yamos ahora una geometría de manera parecida a como lo
hicimos en el $9 a base del dominio (2 de los números
algebraicos. Pensemos un sistema de tres números (x.y.z)
del dominio ((t) cual si fuera un punto; y las relaciones
entre cuatro números (u:v:w:r) de (2(1), en el caso de que
no sean nulos de vez, como si fuera un plano; además, en
el caso de valer la ecuación

UX + Vy + WZ+r-0
exprese que el punto (x.y,z.) está en el plano (u:v:w:r), y sea
la recta el conjunto de todos los puntos “que estén en dos
planos. Echemos mano entonces de las correspondientes
convenciones para fijar el orden de los elementos y el
transporte de segmentos y ángulos, tal como se hizo en el
$9; resultará entonces una geometría no arquimédica en la

24

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

cual, como muestran las anteriormente explicadas propie=
dades del sistema de números complejos (1), se cumplen
todos los axiomas menos el de Arquímedes. En efecto:
podemos transportar el segmento 1 sobre el segmento 1
cuantas veces queramos, una a continuación de otra, sin
que se llegue al punto final del segmento t. Lo cual con=
tradice a lo exigido por el axioma de Arquímedes.

CAPITULO TERCERO
LA TEORIA DE LAS PROPORCIONES

$13.
Sistemas de números complejos.

Al principio de este capítulo vamos a adelantar algunas
breves consideraciones sobre sistemas de números comple—
jos que nos serán más adelante útiles para facilitar la
exposición.

Los números reales forman en conjunto un sistema de
cosas que poseen las propiedades siguientes:

Proposiciones sobre enlace (1-12)

1. Por adición del número a y del número b resulta un
número determinado c. simbólicamente.

a+b-c, 0 sea c-a+b.

2 Hay un número determinado, llámase cero. tal que

para cada a valen de vez
a+0-a y O+2-a.
3. Si a y b son dos números dados, existe siempre un

26

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

número y uno solo x y también un solo número y tales
que valga
a+x-b, y correlativamente, y+a-b
4. Del número a y del número b resulta además por
una nueva manera de enlace, por multiplicación, un nú-
mero determinado c, simbólicamente
ab-c o bien c-ab.
5. Hay un número determinado, llámese 1, « tal que
para cada a valen de yez ;
a.1-a y La-a.
6.Si a y b son dos números cualesquiera dados y a no
es O, existe siempre un número y unosolo x y también
uno y uno solo y. tal que valen respectivamente
ax-b, ya-b,
Si a b < son números cualesquiera, valen siempre las
siguientes reglas de cálculo:

74 a+lb+c) -(a+b) + ec
8. a+b= b+a

9. albc) -(ab)e

10. alb+c) - ab+ac

11. la+b)e - ac +bc

12 ab - ba.

Proposiciones sobre el orden. (13-16)

13. Si a b son dos números distintos cualesquiera, uno
de ellos, por ejemplo el a será siempre mayer (>) que el
otro; éste se llamará el menor, simbólicamente

a>byb<a.

14. Sia >b y b>c, vale tambien a > c.

15. Sia >b, valdrá también siempre

27

DAVID HILBERT

a+c>b+c y c+a >c+b.
16. Si a>b y c>o0, valdrán también siempre
ac>be y ca>cb,

Proposición de Arquímedes (17).

Si a>0 y b>0. siendo a,b dos números cualesquiera, es
siempre posible añadir a consigo mismo.tantas veces que
la suma resultante tenga la propiedad

a+a+a+a.., +2>b.

Un sistema de cosas que sólo posea una parte de las
propiedades 1-17 se llamará sistema de números complejos
o también simplemente sistema de números. Un sistema de
números se llamará arquimédico o no arquimédico según
que cumpla o no la exigencia 17.

De entre las propiedades 1-17 algunas son consecuencia
de las demás. Y habrá que estudiar el tema de su independen-
cia lógica.

(g14, Demostración del teorema de Pascal), ($15,
Cálculo de segmentos según el teorema de Pascal), ($16.
Proporciones y teoremas de semejanza), ($17, Ecuaciones de
la recta y del plano).

CAPITULO CUARTO
La teoría del área de las superficies planas.($18-21).

CAPITULO QUINTO
El teorema de Desargues. ($22-30).

CAPITULO SEXTO
El teorema de Pascal (531-535).

28

CAPITULO SEPTIMO
LAS CONSTRUCIONES GEOMETRICAS
A BASE DE LOS AXIOMAS 1-V.

$ 36.

Construcciones geométricas por medio de
la regla y el transportador lineal.

Supongamos que se nos ha dado una geometría espacial
en la que se cumplen todos los axiomas de los grupos l a V;
para simplificar consideremos en este capítulo una geome—
tría plana incluída en la geometría espacial dicha; e investi-
guemos la cuestión de qué construcciones elementales se
podrán necesariamente realizar en tal geometría

A base de los axiomas 1 son siempre posibles los
siguientes problemas:

Problema l. Unir dos puntos con una recta y hallar
el punto en que se cortan dos rectas, en caso de que las
rectas no sean paralelas. p

El axioma III hace posible resolver el siguiente pro=
blema:

29

DAVID HILBERT

Problema 2. Por un punto dado trazar a una recta
una paralela. ;

Por medio de los axiomas de congruencia IV es posi-
ble transportar segmentos y ángulos, esto es se pueden
resolver en la geometría propuesta los siguientes proble-
mas:

Problema 3. Transportar y aplicar un segmento dado
sobre una recta dada a partir de un punto.

Problema 4. Sobre una recta dada aplicar un ángulo
dado o construir una recta que corte a otra dada bajo un
ángulo dado.

Sirviéndose de los axiomas de los grupos Il y V no se
pueden resolver más problemas; vemos. por tanto. que
empleando exclusivamente los axiomas I-V se pueden
resolver todos y solamente aquellos problemas que puedan
reducirse a los problemas enumerados. 1-4.

A los problemas fundamentales 1-4 añadimos el si—
guiente:

Problema 5. Trazar una perpendicular a una recta
dada.

Se ve inmediatamente que este problema 5 puede ser
resuelto de muchas maneras sirviéndose de los 1-4.

Para ejecutar el problema 1 necesitamos de la regla. Y
llamaremos trasportador de segmentos aquel instru—
mento que sirva para ejecutar el problema 3, es decir:
para aplicar un segmento sobre una recta dada. Vamos a
demostrar, ahora que los problemas 2, 4 y 5 pueden
reducirsea la solución de los problemas 1.3; y. por tanto,
que todos los problemas 1-5 pueden ser resueltos em-
pleando únicamente la regla y el transportador de

30

quo

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

segmentos.

El resultado es el siguiente:

Teorema 40. Aquellos problemas de construcciones
geométricas que pueden ser resueltos empleando ex-
clusivamente los axiomas 1-V pueden ejecutarse
mediante la regla y el transportador de segmentos.

Demostración. Para reducir el problema 2 a los

P Q _ problemas 1 y 3 unamos el punto dado
Á con otro punto cualquiera P de la
recta dada y prolonguemos PA en una
longitud igual a si misma por el lado de
A hasta el C. Unamos entonces C con
otro punto cualquiera B de la recta dada y prolonguemos
CB en una longitud igual a si misma continuando B hasta
el punto Q; la recta PQ es la paralela buscada.

El problema 5 se resuelve de la siguiente manera: Sea
A un punto cualquiera de la recta dada; y a partir de A
prolonguemos por cada lado dos segmentos iguales AB y
AC, y sobre otras dos rectas cualesquiera de las que pasan
por A fijemos los puntos E y D tales que los segmentos
AD y AE sean iguales a los segmentos AB y AC. Las rec-
tas.BD y CE córtense en F, las rectas BE y CD en H; FH

F es la perpendicular que se busca. En

efecto: los ángulos < BDC y < BEC

D son, por ángulos en el semicírculo

sobre BC, rectos; y por tanto, según

el teorema acerca del punto en que

Bo A £ se cortan las alturas de un triángulo,

aplicado al triángulo BCF, resultará que el FH es perpen-
dicular.al BC.

(2

31

DAVID HILBERT

Ahora podemos fácilmente resolver también el proble-
ma 4.empleando únicamente como medios el trazar líneas

y transportar y aplicar segmentos. Sigamos este procedi--

miento. que sólo exige trazar paralelas y perpendiculares.
$ Sea p el ángulo a trasportar y A su
vértice. Tracemos porel punto A la
recta 1 paralela a la recta dada,en la que
5 hay que aplicar el íngulo dado fp. Desde
4 € un punto cualquiera B de uno de los
lados de f tracemos la perpendicular al otro lado del ¿n-
gulo $ y a1. Los pies de estas perpendiculares sean D y C.
La construcción de perpendiculares se hace según los pro-
blemas 2 y 5. »Tracemos. además desde el punto A una
perpendicular a CD. y sea E su pie. Según la demostración
dada en el $ 14 será < CAE -B; con lo cual el problema 4
queda reducido a los problemas 1 y 4. y el teorema 40

está perfectamente demostrado.
($ 37.39)

32

Mi ta

EPILOGO.

El precedente tratado investiga críticamente los prin-
cipios de la geometría. Nos sirvió de guía en tal investi
gación la idea fundamental de estudiar toda cuestión que
se ofreciera de modo que pusiésemos a la vez a prueba si
era o no posible responderla según un método prescrito
de antemano y un cierto número festringidoyde medios.

“Y esta idea me parece encerrar una norma general. a la
vez que acomodáda a la naturaleza de las cosas. Y de
hecho. cuando en nuestras consideraciones matemáticas
nos encontramos con un problema o entrevemos un teo-
rema, nuestro afán de conocimientos quedará satisfecho
precisamente cuando o bien podamos resolver perfecta-
mente tal problema y aprontar su demostración estricta o
cuando hayamos reconocido claramente el fundamento de
la imposibilidad de llegar a un resultado. y con ello la
necesidad del fracaso.

Y por esto en la matemática moderna la cuestión sobre
la imposibilidad de ciertas soluciones o problemas juega un
papel destacado, y los esfuerzos para responder a preguntas

33

DAVID HILBERT

de esta clase han sido frecuentemente ocasión para descu=
brir nuevos y fructuosos campos de investigaciones.

Baste recordar la demostración de Abel sobre la im-
posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado por
medio de radicales, el reconocimiento de la indemostrabi-
lidad del axioma de las paralelas y los teoremas de Hermite
y Lindemann sobre la imposibilidad de construir por
métodos algebraicos los números e y Tr.

Y esta exigencia fundamental. según la cual hay que
investigar los principios referentes a la posibilidad de las
demostraciones. está íntimamente conexa con la exigencia
de “pureza” de los métodos demostrativos, elevada a prin—
cipio por muchos de los matemáticos de nuestro tiempo.
Est” exigencia no es. fundamentalmente. sino una formu—
lación sujetiva de la idea básica que aquí se ha seguido. En
efecto: la investigación geométrica precedente pretende
dilucidar en toda su generalidad qué axiomas, presupuestos
o medios auxiliares son necesarios para una verdad de
geometría elemental. dejando a las circunstancias la elec—
ción de los métodos demostrativos adaptados al punto de
vista que se haya tomado.

(Textos tomados de la obra “Grundlagen der Geometrie”, de David Hilbert,

Leipzig. B.G. Teubner, 1899),

34

isis a

ze.

NOTA.

El texto griego, base de esta edición y de la traducción
española, es el establecido por LL. Heiberg y H. Menge y
publicado en la Bibliotheca Scriptorum graecorum et
romanorum teubneriana (Euclidis opera omnia, Lipsiae, vol.
Í. 1883, libros I-V; vol. 11,1884, libr. V-IX; vol. III, 1886, libro
X; vol IV, 1885, libros XU; XII).

—2) Para un mejor aprovechamiento del texto se han
añadido, como en la edición Teubner. figuras; y además de
esta innovación peculiar de la edición teubneriana, en la
presente cada paso demostrativo lleva en paréntesis la
indicación de las definiciones (D.L.1 a D.L 23; D.IM.1a
D. II. 2; D. IL. 1 a D. II. 11 etc.). Postulados (P.I a PV),
Nociones comunes (N.I a N. IX) y teoremas (T.J. 1 TIL
48; T.ML12T.1 14; T.Ml1a TM 37 etc.) que se em—
pleen, para así ajustar esta primera edición castellana al
método axiomático moderno y a los procedimientos técni
cos de la lógica matemática.

Los números 1. IL III. .. aluden a los libros; los números
1.2,3,4.., numeran por su orden las definiciones y los
teoremas de cada libro. La letra D es abreviación de
Definición; la de P, de postulado; la N. de noción común; y
la T, de teorema, numerados en el texto griego por las

35

DAVID HILBERT

letras del alfabeto.

—3) Las abreviaciones Hip.. Tes. significan Hipótesis y
Tesis, y servirán para designar los correspondientes pasos
en las demostraciones.

—4) Según las fórmulas finales que, al terminar cada
teorema, pone Euclides distinguiremos entre Teoremas
constructivos (T.C., correspondientes a la fórmula final
órmep ¿Se roñoa1) y Teoremas demostrativos (T.D..
correspondientes a la fórmula final 3tmep ¿Ser Seta).

5) Cuando dentro de los paréntesis indicadores del
fundamento lógico del correspondiente paso demostrativo
se hallare un asterisco indicará esta señal que el P. o el T.
o la N. o la D, empleados no se hallan explícitamente en
Euclides y que son, por tanto, pasos demostrativos implí-
citos. El número de asteriscos, que es notable, servirá de
índice para computar la falta de estrúctura lógica explícita
y perfecta de los Elementos, falta que, al poder ser suplida
como lo ha sido históricamente por otras redacciones
axiomáticas perfectas, no atenta en nada contra el edificio
geométrico de Euclides. sólo pone de manifiesto la forma
levemente imperfecta que recibió de su autor.

—6) Para esta edición y la traducción correspondiente
nos hemos servido largamente de la edición de Enriques:
“Gli Elementi d'Euclide e la critica antica e moderna”;
en especial para este volumen, del primero que comprende
los libros I-IV. (1925; Alberto Stock. Roma).

36

d,
FORMULAS LOGICAS.

(Empleadas implícitamente por Euclides y que aquí se
ponen explícitamente)
1) L. 1. o inversión lógica,

a) (p-9>(q- P). donde p.q son proposiciones
cualesquiera, — el signo de la operación lógica “por tanto”
(implicación) y —el signo de la operación lógica negación
(no)

Son fórmulas equivalentes a la anterior, deducidas de
ellaxmediante la regla de sustitución.

b) (p=—[(q- p).

c) (p=q)-—(q- p),

-2) L.R. o reducción al absurdo o imposible;
a) (b-p)-=p, o bien
b) ( P— p)-- Pp.
-3) Syll. o fórmulas silogísticas de deducción empleadas
de dos maneras,
a) SylLP. o silogismo proposicional corriente,
(pd) « (q --r)]> (p--r).donde£es el signo de
la operación lógica “y” (unión copulativa), :

b) SyILR. o silogismo relacional.

1) a base de las nociones comunes. sobre todo de
la I y de la VII empleadas como fórmulas de demostración,

vBr.

37

DAVID HILBERT

[(a-b) a (b-c)] > (a-c), donde - es el signo de la
relación de igualdad. Teniendo presente que cada uno de
los paréntesis es una proposición que suele demostrarse
aparte,

2) a base de sustitución dentro de la relación,
VBr.

[la+b-2R)á (ab > m=n)) > (ni=n <2R), donde
R simboliza ángulo recto.

Se indicará el empleo demostrativo .de las nociones
comunes, sobre todo de la 1. poniendo al lado Syll. P. cuan— *
do se emplee como premisa de un silogismo ordinario; y
Syll. R.. cuando se emplee como fórmula del silogismo
relacional.

4) L.A o ampliación lógica:

a) si son verdaderas, -por hipótesis o por demostra—
ción-, las proposiciones p.q será también verdadera la
proposición total (p «q);

b) si son verdaderas, -por hipótesis o por demos=
tración-, las implicaciones (pq) y (r—=s) entre las
proposiciones p.q.r.s será también verdadera la implicación
compleja (p4r)—(q4s).

—-5) A veces emplea Euclides la inversa de una proposi-
cion directa dada, como noción común-, o bien demostra=
da, mas sin demostrar tal inversa o ponerla explícitamente
entre las nociones comunes. Así la N. VIL concluye de
“congruencia a igualdad”; y el teorema 1.4 emplea la
inversa: de la igualdad a congruencia. Para indicar tales
casos añadimos Inv., —así NVII. Inv.

38

IT.
Reglas de deducción lógica,

(No indicadas explícitamente por Euclides. mas
empleadas en los procesos deductivos).
—1) Modus ponens:

-a) si es verdadera la implicación (pq) y se sabe,
-por hipótesis o por demostración-, que la proposición p
es verdadera, habrá que afirmar que lo es también la q

+ (p —-q), +p: +q. » signo de aserción o afirma—
ción de que es verdadera la proposición o unión de
proposiciones ante las que se lo coloque.

Indicación simbólica: M.P.

-b) si vale la implicación p -- (qvr). donde v es el
signo de la operación lógica “disyunción” o alternativa
(expresada corrientemente con la palabra “o”, “o bien”), y
se sabe que una de las dos proposiciones q,r es falsa, la otra
será verdadera para que así den una implicación verdadera
por hipótesis o demostración, -y así si q es falsa, será r
verdadera; si r es falsa, sera q verdadera. O en forma más
simple: si vale -(pvq) y consta que p (o q) es falsa, será ver
dadera q (o p).

Indicación simbólica: L.D.
-2) Regla de sustitución:

a) Euclides la emplea sobre todo bajo la fórmula:
“y de parecida manera demostraríamos””, para indicar
que en el proceso demostrativo hecho con ciertas magni-
tudes pueden sustituirse las otras que indica y con todo la
estructura deductiva permanece la misma.

b) Euclides hace sustituciones dentro de un

39

DAVID HILBERT

silogismo, a base de sustituir cosas iguales entre sí. C£T.IL
8 (73,74).

Indicación simbólica: L.S,

Se notará que el silogismo euclídeo no siempre presen-
ta una forma perfecta según el rigor lógico clásico.

IT.

Advertencias técnicas para las
demostraciones.

1) Hemos numerado no sólo los teoremas de cada
libro, -T.L.1, TL2,..;a T.L48 en el libro primero; T. II. 1,
T. 11.2. ..a T.I.14 en el libro segundo etc.-, sino cada uno
de los pasos de las demostraciones, indicando en qué defi-
niciones (D.), postulados (P.) o nociones comunes (N.) o
teoremas ya demostrados (T.) se apoya, añadiendo la indi
cación de las leyes lógicas empleadas.

-2) Todo paso demostrativo cuya justificación no se
halle en los grupos de definiciones, postulados, nociones
comunes y teoremas demostrados por Euclides (o sus su-
cesores inmediatos a tenor del texto griego propuesto) se
indicarán con un asterisco. Así D., indicará que Euclides
se sirve de una definición que no consta explícitamente en
el grupo de las definiciones propuestas. P.. indicará un
postulado implícito; N.,, una noción implícita; T », un teo=
rema implícito. Además: si detrás de D,P.T.N, se añade un
número, -D.L,, DL... P.I,,P.IL.. ..-, el asterisco indicará que
se trata de una definición, postulado, noción o teorema
adjunto o referente al correspondiente al número escrito.

-3) La noción común ] (N.1.) se emplea en Euclides

40

FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA

como Sy 11.P.. y como Syll R., y llevará un asterisco.
-4) Según la terminología euclídea la frase “Sixa Tép-
vel” significa dividir en dos partes “iguales”
=5) La noción común VIII. “el todo es mayor que su
parte”, habría que completarla con las siguientes que
Euclides emplea implícitamente:
N.VIILA: “Tla+a--a+..,)- na”; el todo (T) com-
puesto de las partes 22.2... es igual a n veces a.
N.VIILB.; “el todo es igual al conjunto de sus
partes”, T- lar+brcid..,)
N.VIT.C.: “paso del Todo homogéneo a una de
sus partes”, si T-(a+a), se sigue que a- Y (Cf. T.L.9.46)

N.VIT.D. : paso general del Todo a una parte;
si T- (ab), se sigue que a-T-b;o b-T-a,

—6) Euclides emplea también una ampliación de la N.IL
que corresponde al axioma moderno de monotonía. Si vale
a-b, vale también a'-bi,a"-b”. Lo indicaremos con N.IL,

—7) Euclides emplea también la N.V como Fórmula
silogística, y no simplemente como una premisa.

-8) La coma entre AB,BC, etc. equivale frecuentemente
en Euclides al signo de suma (suma aritmética o geométri-
ca); por el contexto se verá sin mayor dificultad si se trata
de una suma o de miembros separados,